سڌر ۽ پهرين امان جي homogeneous differential لاڳاپا وڌائڻ. حل جو مثال

مون کي خيال اسان differential equations طور تي شاندار رياضياتي اوزار جي تاريخ سان شروع ڪرڻ گهرجي. سڀ differential ۽ integral calculus وانگر، انهن equations شهيد 17th صدي عيسويء ۾ Newton جي ايجاد ڪيا ويا. هن چيو ته ايمان آندو ته به خراب پيغام، ھلي طور جنهن اڄ ترجمو ٿي سگهي ٿو ائين اهم سندس دريافت هو: ". differential equations جي بيان فطرت جو سڀ قانون" اهو هڪ وڌاء لڳي سگهي ٿو، پر اهو سچ آهي. طبعيات جي ڪنهن به قانون، ڪيمسٽري، حياتيات، انهن equations جي بيان ڪري سگهجي ٿو.

ترقي ۽ differential equations جي نظريي جي پيدائش لاء هڪ شاندار ڪردار Euler ۽ Lagrange جي ڄاڻ چيڪلو آهي. اڳ ۾ ئي 18th صدي عيسويء ۾ دريافت ڪيو ۽ ترقي جيڪي هاڻي سينيئر يونيورسٽي ڪورس ۾ زير تعليم آهي.

differential equations جي مطالعي ۾ هڪ نئين سنگ Anri Puankare کي شڪر لڳو. تارن جي سائنس ۽ ان جي مال - هو هڪ آهي، جنهن کي، پيچيده variables topology جي بنياد کي بامعني وڌو جي ڪم جي نظريي سان ٿيل "differential equations جي معياري نظريو" بڻايو.

differential equations ڇا آهي؟

ڪيترن ئي ماڻهن جي گفتگوء کان ڊڄو ٿا "differential لاڳاپا وڌائڻ". بهرحال، هن مضمون ۾ اسان کي ڪڍي کولي ۾ هن تمام مفيد رياضياتي اوزار جنهن اهڙو ته جيئن ان جي عنوان مان لڳي ٿو ته جيئن پيچيدو نه آهي جي ذات قائم ڪندو. امان اول امان differential لاڳاپا وڌائڻ جي باري ۾ ڳالهائي کي شروع ڪرڻ ۾، توهان جي پهرين بنيادي نظريا ته inherently ھن وصف سان لاڳاپيل آهن سان آشنائي حاصل هجڻ ضروري آهي. ۽ اسان جي differential سان شروع ٿي ويندس.

differential

ڪيترن ئي ماڻهن کي هاء اسڪول کان وٺي هن مدت کي خبر آهي. تنهن هوندي به، اڃا به تفصيل سان ان تي رھڻ وارا. هن فنڪشن جو گراف رهندا. اسان ان کي اهڙي هڪ حد تائين ته ان ڀاڱي جي ڪنهن به هڪ کي سڌي لڪير ٿيندو کي وڌائي سگهو ٿا. اهو ٻن جون پوائينٽون ته infinitely ھڪ ٻئي جي ويجھو آهن وٺي ويندس. سندن سائيٽ ڊولپر تائين (x يا وائي) جي وچ ۾ فرق infinitesimal آهي. ۽ ان differential سڏيو ويندو آهي ۽ ڪردارن dy (وائي جي differential) ۽ dx (x جي differential) Assakanus جا. اهو سمجهڻ ته differential جي اچ وڃ جو قدر نه آهي، ۽ هن جي معني ۽ مکيه فعل آهي اهم آهي.

۽ هاڻي اوهان جي ڏنل عنصرن، جن کي اسان جي differential لاڳاپا وڌائڻ تصور جي وضاحت ڪرڻ جي ضرورت پوندي غور هجڻ ضروري آهي. اهو - أخذ.

أخذ

اسان جي سڀ اسڪول ۽ هن تصور ۾ ٻڌو هوندو. هنن جو چوڻ آهي ته أخذ - اوسر يا فعل جي ضايع ٿيڻ جي شرح آهي. تنهن هوندي به، هن وصف وڌيڪ ٿاڦڻ ٿيندو. اسان جي differentials جي أخذ اصطلاحن جي وضاحت ڪرڻ جي ڪوشش ٿا ڪريون. سنڌ واپس infinitesimal interval فعل کي ٻن جون پوائينٽون، جنهن کي هڪ ٻئي کان وقفي جي فاصلي تي واقع آهن سان ھلون. پر پوء به هن جي مفاصلي تي فعل کان ڪي قدر تبديل ڪرڻ لاء وقت آهي. ۽ ته تبديلي بيان ۽ هڪ أخذ ته ٻي صورت ۾ سنڌ جي differentials جي نظر طور لکيو وڃي ها کڻي اچي: ف (x) = دف / dx.

هاڻي ان جي أخذ جي بنيادي مال تي غور ڪرڻ ضروري آهي. نه فقط ٽي آهن:

1. أخذ پڄاڻي يا فرق جي پڄاڻي يا derivatives جي فرق جي طور تي ظاھر ڪري سگهجي ٿو: (هڪ + ب) + ب '، ۽ (غير)' = a'-ب '' هڪ = '.
2. ٻيو مال ضرب سان ڳنڍيل آهي. أخذ ڪم - هڪ فعل جي ڪم جي پڄاڻي ٻئي أخذ ڪرڻ آهي: (هڪ * ب) '= هڪ' * ب + هڪ * ب '.
3. (هڪ / ب) '=: فرق جي أخذ طور ڏنل لاڳاپا وڌائڻ لکيل ڪري سگهجي ٿو (هڪ' * اهلي * ب ') / ب ^2.

اهي سڀ خصوصيتون پهرين امان جي equations differential کي حل پئجي لاء ڪارائتي ۾ آيو.

به، ڪو جزوي derivatives آهن. ڀلا اسان جي Z جي هڪ فنڪشن، جنهن تي variables x ۽ وائي جو دارومدار آهي. هن فنڪشن جو جزوي أخذ حساب ڏيڻو، مثال طور، x ۾، اسان کي مسلسل ۽ فرق ڪرڻ آسان لاء variable وائي وٺڻ جي ضرورت آهي.

integral

ٻي اهم تصور - integral. حقيقت ۾ ان کي أخذ جي سامهون آهي. Integrals ڪيترن ئي قسمن جي آهي، پر differential equations جي simplest حل، اسان جي سڀ کان trivial جي ضرورت ناڪام integrals.

پوء، ڇا جي integral آهي؟ جي چوندا آھن ته اسان x جي ف ڪجهه تعلق آهي جڳائي. ان کان integral وٺي ۽ هڪ ئي فعل ۾ ف (x) (ان جي اڪثر هڪ مدي خارج طور حوالو ڏنو ويو آهي)، جنهن جو اصل فعل جي هڪ أخذ آهي نٿي ملي. تنهن ڪري ف (x) = ف (x). هي به مڃڻ آهي ته أخذ جي integral اصل فعل ڪرڻ جي برابر آهي.

differential equations قضاوت ۾ ان جي معني ۽ integral جي ڪارڪردگيء کي سمجهڻ تمام ضروري آهي، تنهنڪري ڏاڍي اڪثر حل ڳولڻ لاء کين وٺي آهي.

هن equations سندن فطرت تي منحصر ڪري مختلف آهن. ايندڙ حصي ۾ اسان جو پهريون حڪم differential equations جي قسمن تي نظر، ۽ پوء ڪيئن انهن کي حل ڪرڻ جي سکڻ ويندو.

differential equations جي طبقن

"Diffury" انھن ۾ ملوث derivatives جي حڪم جي تقسيم ڪيو. اهڙيء طرح هڪ پهريون، ٻيو، ٽيون يا وڌيڪ حڪم نه آھي. عام ۽ جزوي: اهي به ڪيترن ئي طبقن ۾ ورهايل ڪري سگهجي ٿو.

هن مضمون ۾، اسان جي پهرين امان جي عام differential equations ويچار ڪندو. مثال ۽ حل اسان جي ڏنل سيڪشن ۾ ڳالهه ٻولهه. اسان صرف سنڌ جي ٽيڪ تي غور ڇاڪاڻ ته ان equations جي سڀ کان وڌيڪ عام قسم جي آهي. عام subspecies ۾ تقسيم ڪيو: separable variables، homogeneous ۽ heterogeneous سان. اڳيون اوھان کي سکڻ ڪندو اهي ڪيئن ھڪ ٻئي کان مختلف، ۽ ڪيئن انهن کي حل ڪرڻ معلوم ٿئي.

ان کان سواء، انهن equations، ٿيل ڪري سگهجي ٿو ته پوء اسان جي پهرين امان جي differential equations جي نظام کي حاصل ڪري. اهڙي نظام، اسان کي به نظر ۽ حل ڪرڻ ڪيئن معلوم ٿئي ٿو.

ڇو اسان صرف سنڌ جي پهرين امان جي سٺن آهن؟ ڇو ته ان کي ھڪ مقالي ۾ ان ممڪن آهي ۾، هڪ سادي سان شروع ٿي ۽ سڀني differential equations سان لاڳاپيل بيان ڪرڻ ضروري آهي.

separable variables سان Equations

هيء شايد سڀ کان سادو پهريون حڪم differential equations آهي. وائي '= ف (x) * ف (وائي): هي آهي ته جيئن لکيل ڪري سگهجي ٿو مثال آهن. وائي '= dy / dx: هن لاڳاپا وڌائڻ کي حل ڪرڻ لاء اسان جي differentials جي نظر جيئن ئي أخذ جي نمائندگي فارمولي جي ضرورت آهي. dy / dx = ف (x) * ف (وائي): ان سان گڏ اسان جي لاڳاپا وڌائڻ نٿي ملي. هاڻي اسان کي معياري مثال قضاوت جي طريقو توبه ڪري سگهي ٿو: حصن ۾ variables الڳ، يعني روزو اڳتي سڀ variable وائي جو حصو جتي dy موجود آهي ۾، ۽ پڻ variable x ڪر ... اسان جي فارم جي هڪ لاڳاپا وڌائڻ وٺندي: dy / م (وائي) = ف (x) dx، جنهن جي ٻنهي حصن جي integrals کڻڻ جي حاصل آهي. جو ھميشه جي باري ۾ وسارڻ ته اوھان کي جڙڻ کان پوء ڪر ڪرڻ چاهيو ٿا نه ڪريو.

ڪنهن به "diffura" جي حل - وائي (اسان جي حالت ۾) جي x جي هڪ فنڪشن آهي، يا جيڪڏهن ڪو هڪ عددي حالت آهي، جو جواب هڪ انگ آهي. اسان کي هڪ ڪنڪريٽ جو مثال جي فيصلي جي سموري حقيقت ٻڌڻ گھرجي:

وائي '= 2y * گناہ (x)

مختلف طرفن ۾ variables منتقل:

dy / وائي = 2 * گناہ (x) dx

هاڻي جي integrals وٺي. انهن مان سڀ integrals جي هڪ خاص دسترخوان ۾ ملي ڪري سگهجي ٿو. ۽ اسان کي حاصل ڪري:

ٽورنامينٽ (وائي) = -2 * cos (x) + ج

جيڪڏهن گهري، اسان "ايڪس" جي هڪ فنڪشن جي طور تي "وائي" جو مظاهرو ڪري سگهي ٿو. هاڻي اسان کي چون ٿا ڪري سگهو ٿا ته اسان جي differential لاڳاپا وڌائڻ حل آهي، حالت متعين نه جيڪڏھن. مخصوص حالت، مثال طور، وائي (ن / 2) = أي ٿي سگهي ٿو. ان کان پوء اسان کي چئجي ته فيصلي ۾ انهن variables جو قدر تبديلي ڪئي ويندي ۽ ان جي مسلسل جو قدر نه لھندين. اسان جي مثال ۾ اها 1 آهي.

Homogeneous پهريون حڪم differential equations

هاڻي جي وڌيڪ پيچيده حصن تي. وائي '= Z (x، وائي): Homogeneous پهريون حڪم differential equations جيئن عام صورت ۾ لکيو ٿي سگهي ٿو. اهو نوٽ ڪيو وڃي ٻن variables جي حق فعل يڪسان آهي، ۽ ان تي مدار رکندي، ٻن ڀاڱن ۾ ورهايل نه ٿو ڪري سگهجي ته: Z x ۽ وائي جي Z. چيڪ ڪريو ت لاڳاپا وڌائڻ homogeneous آهي يا نه، سادو آهي: اسان کي ٺاهڻ جي راء x = ك * x ۽ وائي = ك * وائي. هاڻي اسان سڀني ك پٽي. اهي اکر ڪڍي رهيا آهن ته، پوء هن لاڳاپا وڌائڻ homogeneous ۽ بچائي ان جي حل ڪرڻ لاء اڳتي ڪري سگهو ٿا. اڳي ڏسي رهيا آهيو، اسان جو چوڻ آهي ته: انهن مثالن جي حل جي اصول به تمام سادو آهي.

- هڪ فنڪشن ته به x تي دارومدار وائي = دبي (x) * x، جتي دبي: اسان جي راء ڪرڻ جي ضرورت آهي. ان کان پوء اسان جي أخذ جو مظاهرو ڪري سگهي ٿو: وائي '= دبي' (x) * x + دبي. اسان جي اصل لاڳاپا وڌائڻ ۾ هي سڀ Substituting ۽ ان simplifying، اسان x طور variables دبي جي جدائي جو مثال آهي. ان جي حل ۽ دبي (x) جو انحصار نٿي ملي. جڏهن اسان ان کي روانو ٿيو، رڳو اسان جي پوئين راء وائي = دبي ويندي (x) * x جي. ان کان پوء اسان x تي وائي جو انحصار نٿي ملي.

x * وائي '= yx *: ان کي چٽو ڪرڻ لاء، اسان کي هڪ مثال طور سمجهڻ وارا أي وائي / x جي.

جڏهن سڀ زوال جي متبادل چيڪ ڪرڻ. پوء، جي لاڳاپا وڌائڻ واقعي homogeneous آهي. هاڻي ٻي راء ڪر، اسان جي باري ۾ ڳالهائيندو هو: وائي = دبي (x) * x ۽ وائي '= دبي' (x) * x + دبي (x). دبي '(x) * x: هيٺين لاڳاپا وڌائڻ simplification کان پوء = -e دبي. اسان کان جدا variables سان هڪ نمونو حاصل ڪرڻ جو فيصلو ڪيو ۽ اسان کي ^{حاصل ڪري: أي -t = ٽورنامينٽ (سي *} x). ^{أي -y / x = ٽورنامينٽ (:} اسان بس جي وائي / x دبي مٽائي کي (ته وائي = دبي * x، پوء دبي = ڇاڪاڻ ته وائي / x)، ۽ اسان جو ^جواب حاصل ڪري ضرورت x * س).

پهرين امان جي سڌر differential لاڳاپا وڌائڻ

اهو وقت هڪ ٻئي وسيع موضوع تي غور ڪرڻ جي. اسان heterogeneous پهريون-حڪم differential equations نظر ايندو. اهي گذريل ٻن کان ڪيئن تڪرار ڪندا آھيو؟ جي ان کي منهن ڏي. سڌر پهرين امان جي لاڳاپا وڌائڻ جي عام صورت ۾ differential equations اھڙي طرح لکيل ڪري سگهجي ٿو: وائي '+ ز (x) * وائي = Z (x). اهو صفا وڃي ٿو ته Z (x) ۽ ز (x) کي مسلسل اقدار ۾ ٿي سگهي ٿي.

هتي هڪ مثال آهي: وائي '- وائي * x = x ^2.

نه حل ڪرڻ جا ٻه طريقا آهن، ۽ اسان کي اسان انھن جي ٻنهي ٻڌڻ گھرجي حڪم. پهريون - ماني constants جو قسمين قسمين جو طريقو.

هن انداز ۾ لاڳاپا وڌائڻ حل ڪرڻ، ان کي ٻڙي جي پهرين حق-هٿ پاسي مائر، ۽ نتيجي ۾ لاڳاپا وڌائڻ کان پوء سڪندر جي منتقلي ٿيندو جنهن کي حل ڪرڻ لاء ضروري آهي:

وائي '= واي * x جي.

dy / dx = واي * x جي.

dy / وائي xdx =؛

ٽورنامينٽ | وائي | = x ^2/2 + ج؛

وائي = أي ^{x2 / 2} * ^س وائي = س ₁ * اي ^{x2 / 2.}

هاڻي ان جي فنڪشن هلي تي مسلسل سي ₁ (x)، جنهن جي اسان کي ڏسندين مٽائي ڪرڻ ضروري آهي.

وائي = ٿيل * اي ^{x2 / 2.}

هڪ متبادل أخذ ٺاھيو:

^{وائي * اي x2 'V ='} / ² -x * هلي * اي ^{x2 / 2.}

۽ اصل لاڳاپا وڌائڻ ۾ انهن اظهار substituting:

هلي '* اي ^{x2 / 2} - x * هلي * اي ^{x2 / 2} + x * هلي * اي ^{x2 / 2} = x ^2.

توهان ڏسي سگهو ٿا ته هن جي ٻن اصطلاحن جي کاٻي پاسي ۾ بيٺي آهي. ڪجهه مثال ته ايڏو وڏو نه ڪيو ته، وري اوھان کي ڪجھ ظلم ڪيو. اسان کي جاري رکي:

هلي '* اي ^{x2 / 2} = x ^2.

هاڻي اسان کي ويچارا لاڳاپا وڌائڻ جنهن ۾ توهان جي variables ڌار ڪرڻ چاهي ٿو حل:

dv / dx = x ^{2 /} أي ^x2 / ^2؛

dv = x ² * اي ^{- x2 / 2} dx.

جي integral کي ختم ڪرڻ لاء، اسان کي هتي سڪندر سان جڙڻ لاڳو ڪرڻ آهي. تنهن هوندي به، هن هن مقالي جو موضوع نه آهي. توهان جو شوق آهيو، ته توهان اهڙي ڪارناما ٻاهر کڻندا کي پنهنجي تي معلوم ٿئي ٿو. ان کي ڏکيو نه آهي، ۽ ڪافي ڪاريگر ۽ خيال سان وقت ڀسم نه آهي.

Bernoulli جو طريقو: ٻيو طريقو ڪرڻ جي inhomogeneous equations جي حل اشارو ڪيو. ڇا اچڻ تيز ۽ سولو آهي - ان کي اوھان تي کنيو آهي.

وائي = ك * ن: پوء، جڏهن هن جو طريقو قضاوت، اسان جي راء ڪرڻ جي ضرورت آهي. هتي، k ۽ ن - x تي منحصر ڪري ڪجهه ڪم. ان کان پوء سنڌ جي أخذ وانگر نظر ايندو: وائي '= ك' * ن + k * ن '. هن لاڳاپا وڌائڻ ۾ ٻه substitutions جي جڳهه تي:

ك '* ن + k * ن ' + x * ك * ن = x ^2.

گروپ کنيو:

ك '* ن + k * ( ن' + x * ن) = x ^2.

هاڻي ان جي ضروري ٻڙي کي مائر کي قوسين ۾ آهي ته آهي،. هاڻي، جيڪڏهن توهان جي ٻن نتيجي ۾ equations تڏهن، اسان جو پهريون حڪم differential equations جي نظام کي ختم ڪري سگهجي ڪري وٺندي:

ن '+ x * (ن) = 0؛

ك '* ن = x ^2.

پهرين حيثيت جو فيصلو ڪيئن ويچارا لاڳاپا وڌائڻ. هن ڪندا، توهان جي variables الڳ ڪرڻ جي ضرورت آهي:

dn / dx = x * هلي؛

dn / ن = xdx.

اسان جي integral وٺي ۽ اسان جهڙن: ٽورنامينٽ (ن) = x ^2/2. ان کان پوء، جيڪڏهن اسين (ن) جو مظاهرو:

ن = أي ^{x2 / 2.}

هاڻي ٻيو لاڳاپا وڌائڻ ۾ جي نتيجي ۾ لاڳاپا وڌائڻ تبديلي ڪئي ويندي:

ك '* اي ^{x2 / 2} = x ^2.

۽ transforming، اسان جو پهريون طريقو ۾ هڪ ئي لاڳاپا وڌائڻ وٺندي:

ڏاڍو ڀلو = x ^{2 /} أي ^x2 / ^2.

اسان به وڌيڪ ڪارروائي بحث نه ڪندو. اهو چيو آهي ته پهريون پهريون-حڪم differential equations تي حل چڪيء جي مشڪلات جو ازالو آهي. تنهن هوندي به، جي موضوع ۾ هڪ عميق immersion ڀلو ۽ بهتر حاصل ٿيندڙ آهي.

ڪٿي differential equations آهن؟

تمام سرگرم differential equations طبعيات ۾ استعمال، لڳ ڀڳ سڀني کي بنيادي قانون differential صورت ۾ لکيل آهن، ۽ فارمولن، ته اسان کي ڏسڻ - اهي equations کي حل. رسائن ۾، اهي هڪ ئي سبب لاء استعمال ڪري رهيا آهن: سنڌ جي بنيادي قانون انھن جي ذريعي نڪتل آهن. ڇرو - حياتيات ۾، جي differential equations اهڙي predator طور نظام، جو رويو ماڊل ڪرڻ لاء استعمال ڪري رهيا آهن. اهي به، reproduction جي ماڊلز جي پيدا ڪرڻ لاء مثال طور microorganisms جي نوآبادين استعمال ڪري سگهجي ٿو.

differential equations زندگي ۾ مدد ڪري ته جيئن؟

هن سوال جي جواب سادو آهي: ڪجھ به نه. توهان هڪ سائنسدان يا انجنيئر نه آهي ته، ان کي بعيد آهي ته اهي مفيد ٿيندو. تنهن هوندي به، معلوم ڪرڻ جي ڪهڙي differential لاڳاپا وڌائڻ ۽ ان جي مجموعي ترقي جي لاء حل آهي ڏک نه. ۽ پوء هڪ پٽ يا ڌيء جو سوال آهي، "ڇا هڪ differential لاڳاپا وڌائڻ؟" هڪ مئل آخر ۾ اوھان کي ڪر نه ڪندا آھن. خير، جيڪڏهن توهان هڪ سائنسدان يا انجنيئر آهي، ته پوء توهان ڪنهن به سائنس ۾ هن موضوع جي اهميت کي خبر آهي. پر سڀ کان اهم آهي ته هاڻي هن سوال کي "پهرين امان جي differential لاڳاپا وڌائڻ کي حل ڪرڻ لاء ڪيئن؟" توهان هميشه هڪ جواب ڏيو ڪرڻ جي قابل ٿي ويندو. متفق آهن، ته ان کي هميشه سٺو لڳندو آهي جڏهن توهان جو احساس آهي ته جيڪي ماڻهو به ڪڍي وٺنديون کي ڊڄندڙ آھن.

جي مطالعي ۾ مکيه مسئلا

هن موضوع جي سمجهه ۾ مکيه مسئلو جڙڻ ۽ تفرقي جي ڪم جو هڪ خراب عادت آهي. توهان مضطرب derivatives ۽ integrals فرض آهي ته، ان کي شايد، سکڻ جي جڙڻ ۽ تفرقي جي مختلف طريقن سکڻ لاء، ۽ فقط پوء ئي مواد آهي ته اهو مضمون ۾ بيان ڪيو ويو آهي جو سنڌ جي تعليم حاصل ڪرڻ لاء اڳتي لاء وڌيڪ قابل آهي.

ڪجهه ماڻهن کي معلوم ٿئي ٿو ته dx، منتقل ڪري سگهجي ٿو ته جيئن عربن (اسڪول ۾) دليل ڏنو ته تعريف dy / dx ناقابل تقسيم آهي حيران آھن. ان کان پوء اوھان کي أخذ تي ادب پڙهڻ ۽ سمجهڻ ته ان infinitely ننڍي مقدار جي نقطه نظر، جنهن equations قضاوت ۾ manipulated ڪري سگهجي ٿو آھي ڪرڻ جي ضرورت آهي.

ڪيترن ئي ماڻهن کي فوري طور تي احساس نه ڪندا آھن ته پهرين امان جي differential equations جي حل - هن کي عام طرح هڪ ئي فعل ۾ يا neberuschiysya integral آهي، ۽ هن ڀولي انھن مصيبت جو تمام گهڻو ڏئي ٿو.

ٻيو ڇا بهتر سمجھڻ لاء اڀياس ڪري سگهجي ٿو؟

اهو وڌيڪ immersion، مثال طور، specialized درسي جي differential calculus جي دنيا ۾ شروع ڪرڻ لاء غير رياضياتي specialties جي شاگردن لاء رياضياتي تجزيي ۾ بهترين آهي. پوء اوھان کي وڌيڪ specialized ادب ڏانهن منتقل ڪري سگهو ٿا.

اهو به چيو ويندو آهي ته، سنڌ جي differential ڪرڻ کان سواء، اتي اڃا integral equations آھن، پوء اوھان کي هميشه لاء ڪوشش ڪرڻ جي ڳالھ ڪئي آهي ۽ جيڪي تعليم حاصل ڪرڻ لاء ويندا.

ٿڪل

اسان کي اميد آهي ته توهان ڇا جي differential equations ۽ ڪيئن انهن کي صحيح حل ڪرڻ جو خيال ڪيو ويندو هي مضمون پڙهڻ کان پوء.

ڪنهن به صورت ۾، ڪنهن به طرح زندگيء ۾ اسان لاء مفيد ۾ چيڪلو. اهو منطق ۽ ڌيان، جنهن کان سواء هر شخص develops، هٿن کان سواء جيئن.