هڪ جو ڪم ۽ ڪيترن ئي variables جي Differential calculus

Differential calculus رياضياتي تجزيي جي هڪ شاخ آهي، جنهن جي أخذ، differentials ۽ ڪم جي مطالعي ۾ سندن استعمال examines آهي.

جي ڪهاڻي

Differential calculus جي 17th صديء جي ٻئي اڌ ۾ هڪ آزاد نظم و ضبط جي حيثيت emerged، Newton ۽ Leibniz جو ڪم، جيڪو differentials جي حساب ۾ بنيادي روزي formulated ۽ جڙڻ ۽ تفرقي جي وچ ۾ سلسلو محسوس ڪرڻ جي مهرباني. نظم و ضبط کان وٺي هن integrals جي حساب سان گڏ ترقي ڪري، اهڙيء طرح جو رياضياتي تجزيي جو بنياد جوڙڻ. انهن calculi مان به ظاهر آهي ته رياضياتي دنيا ۾ هڪ نئين جديد دور ۾ پيدا ٿيا ۽ سائنس ۾ نئين disciplines جي شروعات وڌو. به قدرتي سائنس ۽ انجنيئرنگ ۾ چيڪلو جهڙي جو امڪان وڌايو.

بنيادي نظريا

Differential calculus چيڪلو جي بنيادي تصورات تي مشتمل آهي. اهي آهن: هڪ حقيقي نمبر، تسلسل ۽ فعل جي حد. ٿوري وقت کان پوء، اهي هڪ جديد نظر اختيار ڪيو، جو integral ۽ differential calculus ڪرڻ جي مهرباني.

ٺاهڻ جو عمل

هڪ درخواست جي صورت ۾ differential calculus جي تاليف، ۽ پوء ان جي فڪري جو طريقو فلسفي جو نظريو، Nikolay Kuzansky جي پيدا ڪيو ويو جنهن جي شروعات کان اڳ ٿي پيا آهن. سندس ڪم جو حڪم جي قديم سائنس مان هڪ ارتقائي ترقي ٿي سمجهيو ويندو آهي. حقيقت اها آهي ته هن فلسفي پاڻ هڪ رياضي دان نه هو باوجود، رياضياتي سائنس جي ترقي لاء سندس حصو undeniable آهي. Cusa، جو سڀ کان صحيح سائنس، رياضي سوال ۾ هن وقت اسي طور arithmetic جي غور کان ٻاهر جي پهرين مان هڪ.

قديم mathematicians ۾ آفاقي سچ، هڪ يونٽ ٿي ويو جڏهن ته فلسفي جو هڪ نئون ماڻ infinity طور تجويز کي ٺيڪ ٺاڪ تعداد ۾ موٽي. رياضياتي سائنس ۾ درستگي جي هن ابتو نمائندگي سان تعلقي ۾. سائنسي علم، سندس نظر ۾، نالي ماتر ۽ سمجھ ۾ ورهايل آهي. ٻيو کان پھرين ئي ذري گهٽ نتيجا ڏئي، وڌيڪ صحيح آهي ته سائنسدان موجب.

خيال

جي بنيادي خيال ۽ differential ڪجهه جون پوائينٽون جي هڪ ننڍڙي پاڙي ۾ فعل سان لاڳاپيل calculus جو تصور. هن لاء اهو پڙهائي جن جي رويي کي هڪ سڌر فعل يا هڪ polynomial جي رويي کي بند نصب جون پوائينٽون جي هڪ ننڍڙي پاڙي ۾ ڪميٽيء لاء هڪ رياضياتي مشڪن کي پيدا ڪرڻ ضروري آهي. أخذ ۽ differential جي هن وصف جي بنياد تي.

جي شروعات جي أخذ جي تصور قدرتي سائنس ۽ رياضي جي پريشاني، جنهن ساڳي ئي قسم جي حد کي انهيء جو عزم ڪري روانا جي هڪ وڏي انگ جي ڄاڻايو ويو.

مکيه ڪمن آهي ته هڪ مثال جي طور تي ڏنو آهي مان هڪ، جو قديم ترين اسڪول طبقن سان ٿيندڙ هڪ سڌي ليڪ ۽ هن وکر کي tangent لائن جي تعمير ۾ هڪ نقطي جي تحرڪ جي رفتار جو تعين ڪرڻ لاء آهي. هن differential، هن سان جڙيل کان ان کي هڪ سڌر فعل جي نقطي جي هڪ ننڍڙي پاڙي ۾ فعل ذري گهٽ ڪرڻ ممڪن آهي.

هڪ حقيقي variable جي هڪ فنڪشن جي أخذ جي تصور سان مقابلو، differentials جي وصف چئجي عام فطرت جي ڪارڪردگيء تي خاص ۾ هڪ Euclidean تارن جي تصوير هڪ ٻئي کي گذري ٿو،.

أخذ

جي وائي-محور جي رخ ۾ نڪتو هلڻ گھرجي، ان وقت اسان x، جنهن کي هڪ پل جي شروعات کان ماپ آهي وٺڻ لاء. اهڙي هڪ تحريڪ بيان جي ڪارڪردگيء جي وائي = ف جي ممڪن آهي (x)، جنهن کي هر وقت نڪتو x لاڳاپيل آهي displaceable نڪتو تعاون. mechanics ۾ هن فنڪشن سڏ تحرڪ جي قانون وٺي. جي تحرڪ جي مکيه شئي آهي، خاص طور تي هڪجهڙا، آهي ته instantaneous جي رفتار. جڏهن نڪتو mechanics جي قانون موجب جي وائي-محور گڏ رکيو ويو آهي، جو بي ترتيبي وقت نقطو اهو تعاون x ف (x) حاصل. هن وقت پوائنٽ x + Δh، جتي Δh وقت جي increment جي نمائندگي ۾، ان ف (x + Δh) kordinaty ٿيندو. ف (x)، جنهن هڪ increment فعل سڏيو ويندو آهي - اهڙيء طرح فارمولا Δy = ف (x + Δh) ٺهيل آهي. ان کي واٽ x + Δh کي x کان وقت دوران ڪيو جو هڪ نقطو آهي.

وقت أخذ هلايو وڃي ۾ رفتار جي ايندڙ سان تعلقي ۾. هڪ مقرر نقطي تي ڪنهن به فعل جو أخذ جي حد سڏيو (ڀائيندا ان) حڪم مڃيم. اهو ڪجهه ڪردارن کي حوالو ڪري سگهجي ٿو:

ف '(x)، وائي'، وائي، دف / dx، dy / dx، دف (x).

سڏ تفرقي جي أخذ حساب جي عمل.

ڪيترن ئي variables جي ڪم جي Differential calculus

جڏهن فعل جو مطالعو، ڪيترن ئي variables حساب هيء طريقو لاڳو ڪيو ويندو آهي. جڏهن اتي ئي نقطي تي ٻه variables x ۽ وائي، x جي لاء عزت ۽ احترام سان جزوي أخذ آهن هڪ هڪ مقرر وائي سان x ۾ هن فنڪشن جي أخذ سڏيو ويندو آهي.

هيٺين نشان جي ذريعي ظاهر ڪري سگهجي ٿو:

ف '(x) (x، وائي)، توهان' (x)، ∂u / ∂x ۽ ∂f (x، وائي) '/ ∂x.

گھربل صلاحيتن

امان ۾ ڪاميابي سکڻ ۽ جڙڻ ۽ تفرقي ۾ diffury گھربل صلاحيتن کي حل ڪرڻ جي قابل ٿي. ته اها پهچ واري differential equations سمجهڻ ڪرڻ، موضوع أخذ ۽ سمجهڻ هجي ناڪام integral. به implicit فعل جي أخذ لاء نظر سکڻ لاء ڏک نه رکندو آھي. هن جي حقيقت اها آهي ته سکيا جي عمل ۾ اڪثر integrals ۽ تفرقي جي استعمال ڪندو سبب آهي.

differential equations جي قسمن

عملي طور سڀني جي قبضي سان لاڳاپيل ڪم جي پهرين-حڪم differential equations، homogeneous، separable variables، inhomogeneous سڌر سان: اتي equations جي 3 قسمن آهن.

نه به ڪل differentials، Bernoulli جي لاڳاپا وڌائڻ، ۽ ٻين سان گڏ وڌيڪ ناياب قسمن equations آهن.

Fundamentals حل

شروع ڪرڻ لاء، اسان کي ياد ڪرڻ گهرجي هڪ اسڪول يقينا algebraic لاڳاپا وڌائڻ آهي. چيائون ته variables ۽ انگ تي مشتمل. الوقت لاڳاپا وڌائڻ حل ڪرڻ جي حڪم ۾ انگ آهي ته ڪنهن خاص حالت راضي گھڻائي ڏسي وڃي. عام طرح، انهن equations هڪ پاڙ آهي، ۽ تصدق لاء رڳو جاء تي نامعلوم ۾ هن جو قدر تبديلي ڪئي وڃي.

هن differential لاڳاپا وڌائڻ هن سان ملندڙ جلندڙ آهي. عام طور، پهرين حڪم جي هڪ لاڳاپا هئا:

• آزاد variable.
• پهرين فعل جي هڪ أخذ.
• فعل يا منحصر variable.

ڪجھ ڪيسن ۾، ڪو هڪ نامعلوم، x يا وائي ٿي سگهي ٿو، پر ان کي، جيئن اهم اهو آهي ته پهريون أخذ ڪري ضروري آهي ته جيئن نه آهي جو حل ڪرڻ لاء ڪو به اعلي حڪم derivatives ۽ differential calculus سان سچو هئا.

جي differential لاڳاپا وڌائڻ حل - اهو سڀ ڪم آهي ته اظهار ڏنو مناسب آھن جي سيٽ سٽ ڪرڻ جو مطلب آهي. ڪم جي اهڙي بيان اڪثر عام حل ڪنٽرول سڏيو ويندو آهي.

integral calculus

Integral calculus رياضياتي تجزيي جي سيڪشن جو هڪ جنهن integral، مال ۽ ان جي حساب جي طريقن جي تصور examines آهي.

اڪثر جي integral جي حساب وٺندي جڏهن هڪ وکري ويندا شڪل جي ايراضيء کي حساب. هن قسم جي هڪ حد ايراضي، جنهن طرف سندس جي هٿ ۾ هڪ ھوريان اضافو ٿيو، ۽ ڊيٽا پاسي سان لکيل قوتون شڪل جو هڪ ٺھرايل علائقي ڪنهن به عربن مخصوص ماني ننڍي اهميت کان گهٽ ڪيو ٿي سگهي ٿو جو مطلب آهي.

ڪنهن به جاميٽري جي شڪل جي ايراضي جي حساب ۾ مکيه خيال هڪ مستطيل جي علائقي حسابي آهي، ته پوء اتي جو ثبوت آهي ته ان علائقي جي ويڪر جي ڊيگهه جي پيداوار ڪرڻ برابر آهي. ان جاميٽري لاء اچي جڏهن، پوء سڀني جي تعمير هڪ حاڪم ۽ قطب نما جو استعمال ڪيون وڃن ٿيون، ۽ پوء ويڪر ڊيگهه جي نظر هڪ نالي ماتر اهميت حاصل آهي. هڪ حق تكون جي علائقي حساب جڏهن اندازو ڪري سگهجي ٿو ته جيڪڏهن توهان هڪ ايندڙ تكون وجهي، هڪ مستطيل ٺهيل آهي. جي parallelogram جي علائقي ۾، هڪ اهڙي پر ڪجھ وڌيڪ پيچيدو طريقو ۾ ڏوهه آهن هڪ مستطيل ۽ هڪ تكون اندر. هڪ قوتون جي علائقي ۾ ان ۾ شامل مثلثات جي سمجهيو ويندو آهي.

ماني جي ٻاجھ determining ۾، هن جو طريقو وکر وسيلو نه ڪندو آھي. جيڪڏهن اسان ان کي فرد squares ۾ ڀڃندا، ان unfilled هنڌن تي رهندو. هن معاملي ۾، جي فعل جو گراف شامل آهن ۽ شامل نه ڪندو آھي جن جي نتيجي طور، ٻه زرھون کي استعمال ڪرڻ، مٿي ۽ هيٺ rectangles سان ڪوشش. هتي اهم هڪ طرح انهن rectangles ڀڃڪڙي ڪرڻ آهي. به، جيڪڏهن اسان جي ٿي چڪو ھو وڌيڪ ۽ وڌيڪ گهٽجي وٺي، ان جي چوٽي ۽ تري جي ايراضي هڪ خاص اهميت تي converge گهرجي.

اهو rectangles ۾ separating لاء هڪ طريقو کي واپس ڪرڻ گهرجي. اتي ٻه مشهور طريقا آهن.

Riemann جي integral جي وصف formalized ويو، Leibniz ۽ Newton جي پيدا، subgraph جي علائقي جي طور تي. هن معاملي ۾، اسان جي interval ورهائي طرفان مليل عمودي rectangles جو هڪ خاص نمبر جي consisting هڪ شخصيت سمجهيو ويندو. جڏهن کان ڊڄندو ٽوڙڻ جنهن کي اهڙي شخصيت جي بيٺي ايراضي هڪ حد نه آهي، هن حد جي Riemann هڪ مخصوص interval تي هڪ فعل جي integral سڏيو ويندو آهي.

هڪ ٻيو طريقو ته Lebesgue integral تعمير ڪرڻ لاء، سنڌ جي حقيقت اها آهي ته، سنڌ جي integrand جي هڪ حصي تي جدائي نامزد علائقي جي جاء تي ۽ وري انهن حصن ۾ حاصل ڪري انهيء جي integral پڄاڻي compiling کي آھسته آھسته انهيء جي ان حد تائين تقسيم ڪيو، ۽ پوء جي لاڳاپيل قدمن انهن integrals جي inverse تصويرون کڻي سم ۾ consisting آهي.

جديد aids

differential ۽ integral calculus Fikhtengol'ts جي اڀياس لاء مکيه فائدا جو هڪ لکيو - "جي differential ۽ integral calculus جي." سندس چارٽ رياضياتي تجزيي جي مطالعي، جنهن کي ٻين ٻولين ۾ ڪيترن ئي ڇاپن ۽ ترجمو withstood لاء هڪ بنيادي اوزار آهي. شاگردن لاء ۽ ان جي مطالعي جو مکيه فائدو مان هڪ ته جيئن تعليمي ادارن جي ڳالهه ٻولهه ۾ استعمال هڪ ڊگهي وقت لاء پيدا ڪيو. اهو نظرياتي معلومات ۽ عملي جي صلاحيتن کي ڏئي ٿو. پهريون ڀيرو 1948 ع ۾ شايع ڪيو.

الخوارزمي تحقيق فعل

differential calculus فعل جي طريقن ۾ روشناس، توهان جي پيروي ڪرڻ جي ضرورت آهي اڳ ۾ ڏنو ويو آهي الخوارزمي:

1. هن فنڪشن جي ڊومين مان ڳولا ڪريو.
2. جي ڏنو لاڳاپا وڌائڻ جي پاڙ مان ڳولا ڪريو.
3. جي غلو حساب. هن ڪندا، اسان جي أخذ ۽ نڪتو، جتي ان کي ٻڙي جي برابر آهي حساب.
4. اسان Eq ۾ حاصل قدر تبديلي ڪئي ويندي.

differential equations جي Varieties

پهريون حڪم (ٻي صورت ۾، هڪ variable جي differential calculus) ۽ انهن جي قسمن جي قبضي:

• ف (وائي) dy = ز (x) dx: separable variables لاڳاپا وڌائڻ سان.
• هن simplest لاڳاپا وڌائڻ يا هڪ variable جي differential calculus فعل، فارمولا پوڻ: وائي '= ف (x).
• هن سڌر پهريون-حڪم nonuniform قبضي: وائي '+ منصوبابندي (x) واي = ق (x).
• Bernoulli differential لاڳاپا وڌائڻ: وائي '+ منصوبابندي (x) واي = ق (x) واي هڪ.
• سان ڪل differentials لاڳاپا وڌائڻ: منصوبابندي (x، وائي) dx + ق (x، وائي) dy = 0.

ٻيو حڪم جي differential equations ۽ انهن جي قسمن:

• مسلسل ^coefficients سان Homogeneous سڌر ٻيو حڪم differential لاڳاپا ^{وڌائڻ: واي ن + py '+ qy} = 0 ص، عبرت آھي آر
• Inhomogeneous مسلسل coefficients ^قدر سان سڌر ٻيو حڪم differential لاڳاپا ^{وڌائڻ: واي ن + py '+ qy} = ف (x).
• Homogeneous سڌر differential ^{لاڳاپا وڌائڻ: واي ن + ص (x)} وائي '+ ق (x) واي = 0، ۽ inhomogeneous ٻيو حڪم ^{لاڳاپا وڌائڻ: واي ن + ص (x)} وائي' + ق (x) واي = ف (x).

مٿين حڪم جي Differential equations ۽ انهن جي قسمن:

• هن differential لاڳاپا وڌائڻ، جو ^حڪم جي گهٽتائي ^{رهڻ: ف (x، وائي (ك} )، وائي (ك + ^{1)، ..، وائي (ن)} = 0.
• اعلي حڪم ^_homogeneous جي هڪ سڌر لاڳاپا ^{_{وڌائڻ: وائي (ن) + ف (}} n- ₁₎ واي ^(ن-1) + ... + ف ₁ وائي '+ ف ₀ وائي = 0، ۽ ^{_{inhomogeneous: وائي (ن) + ف (}} ن _-1) واي ^(ن-1) + ... + ف ₁ وائي '+ ف ₀ وائي = ف (x).

جي differential لاڳاپا وڌائڻ سان مسئلو حل ثي رهيو جي مرحلن

ٻاهرين قبضي جي مدد سان حل آهن صرف نه چيڪلو يا جسماني مسئلا، پر پڻ حياتيات، معاشيات، سماجيات ۽ ٻين جي مختلف مسئلا. موضوع جي وڏين قسم جي باوجود، اهي مسئلا حل ثي رهيو لاء ھڪ منطقي تسلسل جي تابعداري ڪرڻ گهرجي:

1. ڪنٽرول وٺي ويئي. سڀ کان ڏکيو مرحلن مان هڪ آهي، جنهن جو، وڌ ۾ وڌ جي درستگي جي ضرورت آهي، ڇاڪاڻ ته ڪنهن به غلطيء جو مڪمل طور تي غلط نتيجن کي رسي ويندا. اهو اڪائونٽ ۾ سڀ عمل متاثر عنصر وٺي ۽ شروعاتي حالتن جو تعين ڪرڻ لاء ضروري آهي. اهو به حقيقتون ۽ منطقي conclusions جي بنياد تي ڪرڻ گهرجي.
2. equations قضاوت لاء. هن عمل جي پهرين نقطي کي سولو آهي، تنهنڪري ان کي رياضياتي حساب جي رڳو سخت عمل ڪرائڻ جي ضرورت آهي.
3. تجزيي ۽ نتيجن جي اوسر. نڪتل حل جي نتيجي جي عملي ۽ نظرياتي اهميت جي انسٽاليشن جي لاء ويچاريو وڃي.

علم طب ۾ differential equations جي استعمال جو هڪ مثال

علم طب جي شعبي ۾ ٻاهرين قبضي استعمال ڪري epidemiological رياضياتي ماڊل جي تعمير ۾ مليو آهي. اسان کي نه وسارڻ گهرجي ته اهي equations به حياتيات ۽ رسائن ۾ مليا آهن، جنهن جي دوا لاء بند آهن، ڇاڪاڻ ته ان کي انساني جسم ۾ هڪ اهم ڪردار ادا مختلف حياتياتي آبادي جي مطالعي ۽ ڪيميائي عمل ادا ڪري ٿي.

هن مثال ۾، انفيڪشن جي وبا پکڙيل هڪ اڪيلائيء ساٿ ۾ علاج ڪري سگهجي ٿو. هادي ٽن قسمن ۾ ورهايل آهن:

• ڦهليل، x (دبي) جو تعداد، جن کي ماڻهن جي گولا، وچڙندڙ carriers، جنهن جي هر وچڙندڙ آهي (incubation دور ۾ ننڍو آهي).
• جڏهن ته ٻئي قسم جي بدعنواني ماڻهن وائي (دبي)، ڦهليل سان رابطي جي ڦهليل ڪري سگهجي ٿو شامل آهن.
• ٽيون قسم Z (دبي) refractory ماڻهن، جنهن مامون يا بيماري سبب گم آهن شامل آهن.

ماڻهن جو تعداد مسلسل، جنم، قدرتي آفتن ۽ لڏ پلاڻ رکندي نه سمجهيو آهي. جي بنيادي تي ٻه آرايون ٿي ويندي.

ڪجهه وقت نڪتو x جي برابر آهي (دبي) واي (دبي) تي سيڪڙو بيماري (جي نظريي جي بنياد تي گمان آهي ته کڻندي ۾ ڪيس جي تعداد ۾ مريض ۽ قبوليو جي ميمبرن جي وچ ۾ چونڪ جو تعداد، جن کي پهرين لڳ ڀڳ ۾ x (دبي) واي (دبي) کي متناسب آهي)، ۾ تنهن ڪري ڪيس جي تعداد ۾ واڌارو ڪيو آهي، ۽ هڪ جي شرح جنهن جي فارمولا ڪهاڙي (دبي) واي (ت) (هڪ> 0) جي حساب ڪتاب آهي تي بدعنواني لاء گھڻي قدر جو تعداد.

غير responders جانورن ته مري ويو يا حاصل چٺي جو تعداد، هڪ جي شرح جنهن جي ڪيس جي تعداد کي متناسب آھي تي وڌي، bx (ت) (ب> 0).

نتيجي طور، توهان کي ان جي conclusions جي بنياد تي سڀني جي ٽي اشارو سان equations جو نظام قائم ڪري سگهن ٿا.

مثال طور استعمال اقتصاديات

Differential calculus اڪثر اقتصادي تجزيو ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي. سنڌ جي اقتصادي تجزيو ۾ مکيه ڪم جنهن جي فعل جي صورت ۾ درج ڪيا وڃن ٿا ته معيشت جي انهيء، جو مطالعو ڪيو وڃي ٿو سمجهيو ويندو آهي. اها ڳالهه اهڙي انڪم ٽيڪس وڌائي ۾ تبديلين کي فوري طور کان پوء، داخلا فيس، روينيو ۾ تبديليون جڏهن ته پيداوار جي قيمت بدلجندڙ، جيڪي کڻندي ۾ نئين سامان سان رٽائر ٿيل ملازمن سان متبادل ٿي سگهي ٿو ته جيئن مسئلا حل ثي رهيو ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي. جيئن ته مسئلا حل ڪرڻ، ان کي ايندڙ variables، جنهن کان پوء differential calculus جي اڀياس پئي جو هڪ رابطي فعل جي تعمير ڪرڻ جي ضرورت هوندي آهي.

معاشي شعبي ۾، اڪثر ڪري تمام گهڻي اشارن کي ڳولڻ ضروري آهي: وڌ مزدورن جي پيداوار، اعلي ترين آمدني، گهٽ خرچ، ۽ پوء. هر هڪ اشارو هڪ يا وڌيڪ دليلن جي هڪ فنڪشن آهي. مثال طور، پيداوار مزدور ۽ سرمائي جي ڪارڪردگي جي حيثيت کي سمجهي سگهجي ٿو. انهي سلسلي ۾، هڪ يا وڌيڪ متغيرات کان وڌ يا گهٽ ۾ گهٽ فنڪشن کي ڳولڻ لاء مناسب قيمت کي گھٽائي سگهجي ٿو.

اهڙا مسئلا انتهاپسندي جا مسئلا طبقي ٺاهي اقتصادي ميدان ۾ آهن، جنهن لاء هڪ فرق جي حساب سان ضروري آهي. جڏهن اقتصادي اشارو ڪنهن ٻئي اشاري جي فنڪشن کي گهٽ يا وڌايو وڃي ٿو، ان کان وڌ ۾ وڌ دليل نقطي جي ڪارڪردگي جي تناسب صفر صفر ٿيندو، جيڪڏهن صفر صفر ٿي ويندي. ٻي صورت ۾، جڏهن اهڙي نموني ڪجهه مثبت يا منفي قدر سان تعلق رکي ٿي، خاص نقطو مناسب نه آهي، ڇاڪاڻ ته دليل دليل کي وڌائي يا घटाउन اهو لازمي ممڪن آهي ته لازمي قيمت کي لازمي قدر تبديل ڪيو وڃي. فرق جي حساب جي اصطلاح جي اصطلاحن ۾ هن جو مطلب آهي ته وڌ ۾ وڌ فنڪشن جي گهربل شرط ٻيڙي جي صفر قيمت آهي.

معيشت ۾ اڪثر اڪثر متغير سان فنڪشنل جي انتهائي پئجي ويندا آهن، ڇاڪاڻ ته معاشي اشارا ڪيترن ئي فڪر کان وٺي آهن. ساڳئي سوالن ڪيترن ئي متغير جي فعل جي نظريي ۾ چڱي طرح مطالع ڪيا آهن جيڪي متفاوت جي وچ واري طريقن جي طريقن کي لاڳو ڪن ٿيون. اهڙيون ڪمن ۾ شامل نه رڳو شامل آهن ۽ ڪمن کي گهٽائي ڇڏيون، پر انهن جون حدون پڻ. ساڳي سوالن کي رياضياتي پروگرامنگ سان لاڳاپيل آهي، ۽ انهن کي سائنس جي هن حصي تي پڻ، خاص طور ترقي يافته طريقن جي مدد سان حل ڪيو ويو آهي.

اقتصاديات ۾ استعمال ٿيندڙ تڪرارن جي طريقن ۾، هڪ اهم حصي ۾ تڪ بندين جو تجزيو ٿيل آهي. معاشي شعبي ۾، هي اصطلاح متغير اشاري ۽ نتيجن جي مطالع ڪرڻ جي طريقن کي ظاهر ڪري ٿو جڏهن ان جي حدود جي تجزيه تي پيدائش، مصرف، تبديل ٿي وڃي. محدود حد انڊسٽري ۾ موجود متغيرات يا جزوي ڊيليويٽيڪٽس آهي.

ڪيترن ئي متغير جي فرق جي حساب سان رياضياتي تجزيه جي فيلڊ کان هڪ اهم موضوع آهي. تفصيلي اڀياس لاء، اعلي تعليم جي ادارن لاء مختلف تدريس واري امداد استعمال ڪري سگهجي ٿي. سڀ کان وڌيڪ مشهور فچنتولزز پيدا ٿيل آهي "فرق جي ڪورس ۽ لازمي حساب." جيئن ته عنوان کان واضع آهي، ضمير سان ڪم ڪرڻ ۾ صلاحيتون اختلافن جي مساوات کي حل ڪرڻ لاء اهم اهميت آهن. جڏهن هڪ متغير جي فنڪشن جي فرق جي حساب سان ڪجه ٿي ويندو آهي، حل آسان ٿي ويندو آهي. جيتوڻيڪ اهو نوٽ ڪيو وڃي ٿو، اهو ساڳيو بنيادي قاعدن جو چيو وڃي ٿو. فرق جي حساب سان فعل کي عملي ڪرڻ لاء، اسڪول جي مٿين درجي ۾ ڏنل آهي، جيڪو اڳوڻي موجود الورورٿم جي پيروي ڪرڻ ڪافي آهي، ۽ صرف ڪجهه پيچيدگي ٿيندو آهي جڏهن نيون متغير داخل ٿينديون.