Maclaurin ۽ ڪجهه ڪم جي decomposition

زير تعليم يافته چيڪلو خبر آهي ته اسان جي هڪ انگ جو مرکزی جي interval ۾ هڪ طاقت سيريز جي پڄاڻي، ڀيرا هڪ differentiated فعل جي هڪ مسلسل ۽ لامحدود نمبر آهي. هجڻ گهرجي اهو سوال ٿو اٿي: ان کي دليل سان ته ڏنو هڪ ماني فعل ف (x) ممڪن آهي - هڪ طاقت سيريز جي پڄاڻي آهي؟ ته جيڪي حالتن جي م-پيشقدميون ف (x) هڪ طاقت اچڻ سان ظاھر ڪري سگهجي ٿو هيٺ، آهي؟ هن مسئلي جي اهميت آهي ته ان جي لڳ ڀڳ £ کي آماده ڪيو ف مٽائي ڪرڻ ممڪن آهي (x) هڪ طاقت سيريز جي پهرين چند شرطن جي پڄاڻي، ته هڪ polynomial آهي. polynomial - - آسان ۽ ڪجهه مسئلا حل ثي رهيو ۾ آهي اهڙي متبادل فعل سادو اظهار آهي رياضياتي تجزيي ۾، ڇهن integrals قضاوت جڏهن حساب ۾ differential equations ، وغيره ...

اها ڳالهه ثابت آهي، ته ڪي م-ب- م لاء (x)، جو (ن + 1) جي derivatives -th حڪم (α جي بازارن ۾ جديد شامل آهن، ڏوهه ٿي سگهي ٿو جنھن - ر؛ x ₀ + ر) هڪ نقطي جي x = α چڱو فارمولا آهي:

هي فارمولا جي مشهور سائنسدان Brooke Taylor کان پوء رکيو ويو آهي. هڪ انگ جنهن جي گذريل هڪ مان نڪتل آهي، هڪ Maclaurin سيريز سڏيو آهي:

هڪ راڄ ته ان لحاظ کان هڪ Maclaurin سيريز ۾ توسيع پيدا ڪرڻ ڪندو آھي:

1. پهريون، ٻيو، ٽيون، ... امان جي derivatives جو اندازو لڳائي.
2. حساب x = 0 تي derivatives آھن ڇا.
3. رڪارڊ هن فنڪشن لاء Maclaurin اچڻ، ۽ پوء مرکزی جي interval جو تعين ڪرڻ لاء.
4. ، جتي فارمولا Maclaurin جي residual حصو؛ interval (ر -R) جو اندازو

ر _ن (x) -> 0 (ن) جي لاء -> infinity. هڪ موجود آهي ته، ان فنڪشن ف (x) جي Maclaurin سيريز جي پڄاڻي ڪرڻ برابر هوندو.

هاڻي جي فرد جي ڪم ڪرڻ لاء Maclaurin اچڻ گهرجي.

1. اهڙيء طرح، جو (x) پهرين ف ٿيڻ = أي ^{x جي.} جي حقيقت، سندن ڪنڀار ته پوء م-IA حڪم جي هڪ قسم نڪتل آهي، ۽ م ^{(ك) (x)} = أي ^x، جتي ك سڀني لاء برابر آهي ته قدرتي انگ. جي جڳهه تي x = 0. اسان م ^{(ك) (0)} = أي ⁰ = 1، ك = 1،2 ... ٻول جي بنياد تي، جي اي ^{x جي} هڪ نمبر وٺندي ان جي پٺيان طور ٿيندو:

2. جي فنڪشن م لاء Maclaurin سيريز (x) = گناھ x جي. فوري طور ڄاڻائي سڀ unknowns لاء م-پيشقدميون، نڪتل ڪيو ويندو آهي ته م کان سواء ^'(x) = cos x = گناہ (x + ا / 2)، ^{ف' '(x)} = -sin x = گناہ (x + 2 * ن / ²⁾ ...، م ^{(ك) (x)} = گناہ (x + ا * ك / 2)، جتي ك ڪنهن مثبت عدد ڪرڻ برابر آهي. ته، آهي سادي حساب بڻائي، اسان کي ويچار ڪري سگھو ٿا ته ف جي سيريز (x) = گناھ x هن طرح ٿيندو:

3. هاڻي جي iju ف-م ٻڌ ڏين (x) = cos x جي. اها ماني امان جي موڪليل derivatives لاء اڻڄاتل آهي، ۽ ^{| م (ك) (x)} | = | Cos (x + k * ن / 2) | <= 1، ك = 1،2 ... وري، ان کي ڪجهه حساب ڪيو پوڻ، اسان کي ڏسي ته فنڪشنل جي سيريز (x) = cos x هن طرح نظر ايندو:

پوء، اسان کي سنڌ جي سڀ کان اهم خصوصيتون ته هڪ Maclaurin سيريز ۾ وسعت ٿي سگهي ٿو ڏنل آهن، پر اهي ڪي ڪم لاء Taylor سيريز complement. هاڻي اسان کي انھن سان گڏو گڏ لسٽ ۾ ٿيندو. اهو به نوٽ ڪرڻ گهرجي ته Taylor سيريز ۽ Maclaurin سيريز اعلي چيڪلو ۾ فيصلن جي ورڪشاپ سيريز جو هڪ اهم حصو آهن. پوء، Taylor اچڻ.

1. پهرين جي م-ب- ف (x) = ٽورنامينٽ (1 + x) هڪ سلسلو آهي. پوئين مثال ۾، هن اسان کي م لاء (x) = ٽورنامينٽ (1 + x) هڪ انگ ويڙھيل ڪري سگهجي ٿو، Maclaurin سيريز جي عام فارم استعمال ڪندي. پر هن مضمون جي لاء Maclaurin گهڻو پهچ حاصل ڪري سگهجي ٿو. هڪ جاميٽري جي سيريز Integrating، اسين م لاء هڪ نمبر وٺندي (x) = (1 + x) جي نموني جي ٽورنامينٽ:

2. ۽ ٻيو، جنهن کي هن مضمون ۾ فائنل ٿيندو، ف (x) = arctg x جي لاء هڪ سلسلو ٿيندو. جي interval [-1؛ 1] سان تعلق رکندڙ x جي لاء صحيح decomposition آهي:

ته سڀ آهي. هن مضمون ۾ مون کي اعلي چيڪلو ۾ سڀ کان شده Taylor سيريز ۽ Maclaurin سيريز سروي ڪيو آهي، خاص طور تي سنڌ جي اقتصادي ۽ فني ڪاليجن ۾.