سڌر algebraic equations جو هڪ نظام. سڌر algebraic equations جي Homogeneous نظام

اسڪول ۾، اسان مان هر هڪ جو لاڳاپا وڌائڻ اڀياس ۽، بيشڪ، equations جو نظام. پر ڪيترن ئي نه ماڻهن کي خبر آهي اتي انھن کي حل ڪرڻ لاء ڪيترن ئي طريقن سان آهي. اڄ اسين انهيء سڀ سڌر algebraic equations، جنهن کان وڌيڪ ٻن equations جو ٺهيل آهن جو هڪ نظام قضاوت جي طريقن ڏسندا.

ڪهاڻي

اڄ اسان کي خبر آهي ته equations ۽ سندن نظام قضاوت جي فن جو قديم بابل ۽ مصر ۾ ٺهينديون آهن. تنهن هوندي به، سندن واقف صورت ۾ برابري جي برابر سائين "=" آهي، جنهن کي 1556 ع ۾ انگريزي رياضي دان رڪارڊ جي رائج ڪيو ويو جو ايندڙ کان پوء اسان وٽ بيٺو. واٽ جو قسم، هن نشان جو هڪ سبب جي لاء چونڊيو ويو: ان کي ٻن ٻيو برابر حصن جو مطلب آهي. بيشڪ، برابري جي بهترين مثال مٿي اچي نه رکندو آھي.

جديد چيز ۽ نامعلوم حد جي نشان جي باني، جي فرينچ رياضيدان Fransua وڏي ۾. تنهن هوندي به، ان جي designation اڄ کان بامعني مختلف آهي. (. عزي "quadratus") مثال طور، هڪ نامعلوم تعداد هن کي خط ق جي نامزد جي هڪ چورس، ۽ ان جي پيدا ٿيندڙ - خط سي (عزي "cubus".). اهي نشان هاڻي مضطرب لڳي، پر پوء ان کي سڀ کان وجداني انداز ۾ سڌر algebraic equations جي نظام کي لکڻ هو.

تنهن هوندي به حل جي موجوده طريقن ۾ ڪو نقصان ته mathematicians رڳو مثبت پاڙ سمجهيو ڪيو هو. شايد هن جي حقيقت اها آهي ته منفي قدر ڪنهن کي عملي طور لاڳو نه ٿا ڪري آهي. هڪ رستو يا ٻي، پر پهرين سمجهيو وڃي منفي پاڙ جي 16th صدي عيسويء ۾ اطالوي چيڪلو ميڪا Tartaglia، Gerolamo Cardano ۽ Raphael Bombelli کان پوء شروع ٿي. هڪ جديد نظر، قضاوت جي مکيه طريقو quadratic equations (discriminant جي ذريعي) Descartes ۽ Newton جي ڪمن جي ذريعي صرف 17th صدي عيسويء ۾ قائم ڪيو ويو.

جي 18th صدي عيسويء جي وچ ۾ ورتيون رياضي دان جبرائيل Cramer سڌر equations جي نظام پهچ جي حل ڪرڻ لاء هڪ نئون رستو مليو. هيء طريقو بعد ۾ رکيو ويو تنھن کان پوء، ۽ هن ڏينهن اسان کي ان کي استعمال ڪرڻ. پر Kramer جي اچارڻ جي طريقو ٿوري ٿوري دير کان پوء تي، پر هاڻي لاء اسان جي نظام کان سڌر equations ۽ انهن جي حل الڳ الڳ ڳالهه ٻولهه ڪئي ويندي.

سڌر equations

سڌر equations - variable (ص) سان simplest لاڳاپا وڌائڻ. چيائون ته algebraic سان واسطو رکن. سڌر equations جي عام صورت ۾ لکيل ھلي طور: هڪ ₁ * x ₁ + هڪ _{2 *} x ₂ + ... ۽ _ن * x _ن = ب. هي فارم اسان کي نظام ۽ قالب تي جي تياري ۾ ضرورت پوندي جو فرمانبردار.

سڌر algebraic equations جو هڪ نظام

هن اصطلاح جي وصف آهي: equations عام unknowns ۽ عام طور حل آهي ته هڪ سيٽ. عام طرح، اسڪول تي سڀني جا ٻه يا ٽي به equations سان هڪ نظام کي ختم ڪري. پر اتي چار يا وڌيڪ جزا سان نظام آهي. اچو ته پهرين ڏسي ڪيئن کين لکڻ لاء نازل ڪيو ته ٿوري دير کان پوء ان کي حل ڪرڻ آسان ٿي ويو. 1،2،3 ۽ پوء تي مري: پهرين ڳالهه، سڌر algebraic equations جي نظام کي بهتر جيڪڏھن سڀ variables جي لاڳاپيل انڊيڪس سان x جي طور تي لکيل آهن نظر ايندو. هڪ ₁ * x ₁ + هڪ _{2 *} x ₂ + ... ۽ _ن * x _ن = ب: ٻيو، ان جي canonical فارم کي تمام equations ڏس گهرجي.

اهي سڀ قدم کان پوء، اسان کي ڪيئن سڌر equations جي نظام جو حل ڳولڻ لاء اوھان کي ٻڌايان کي شروع ڪري سگهي ٿو. ته ان لاء تمام گهڻو ڪارائتي ٿينديون ۾ اچي ويندو.

قائم ٿينديون

قائم ٿينديون - هڪ ميز ته صفون ٻڌي ۽ شاخن جي سڃاڻي، ۽ ان جي جزا ان جي چونڪ تي آهن. هيء هڪ خاص اهميت يا variable يا ٿي سگهي ٿو. اڪثر حالتن ۾، عناصر ته subscripts (مثال طور، هڪ ₁₁ يا ₂₃ چڱي طرح) ھيٺان جو پڪو ارادو آهن Assakanus جا. جي ڪالمن - پهرين انڊيڪس جي قطار نمبر، ۽ ٻيو اشارو. مٿي ۽ ڪنهن ٻئي رياضياتي عنصر جي حيثيت قالب مٿي مختلف عملن جي انجام ڪري سگهو ٿا. اهڙيء طرح، توهان ڪري سگهو ٿا:

1) Subtract ۽ ميز جي هڪ ئي ماپ شامل.

2) ڪنهن به نمبر يا vector کي قائم ٿينديون ضرب.

3) Transpose: سنڌ جي شاخن ۾ ٿينديون سٽون Transform، ۽ شاخن - قطار ۾.

4) سنڌ جي ٿينديون ضرب، جيڪڏھن صفون جي تعداد ۾ انهن مان هڪ شاخن جي مختلف تعداد جي برابر آهي.

تفصيل سان ڳالهه ٻولهه ڪرڻ لاء انهن طريقن جي سڀ، جيئن اهي مستقبل ۾ اسان لاء مفيد آهي. Subtraction ۽ قالب جي ان کان سواء تمام سادو آهي. تنهنڪري اسان کي هڪ ئي ماپ ٿينديون وٺي، هڪ ٽيبل جي هر عنصر هر ٻيا عنصر سان لاڳاپيل آهي. اهڙيء ريت اسان کي (ان اهم آهي ته اهي ان جي قالب ۾ هڪ ئي زمين تي بيٺل هئا) شامل (subtract) انهن عنصرن جي ٻن. جڏهن ٿينديون يا vector جي تعداد جي وڌايائين اوھان کي چئجي ته نمبر (يا vector) سان ٿينديون جي هر عنصر ضرب. ابدال - هڪ ڏاڍي دلچسپ عمل. ڪڏهن ڪڏهن ڏاڍي دلچسپ، حقيقي زندگي ۾ کيس ڏسي، مثال طور جڏهن هڪ گولي يا فون جي تعارفي بدلجندڙ. جي ڊيسڪ ٽاپ تي icons هڪ ٿينديون آهي، ۽ جاگرافيائي بيهڪ جي هڪ تبديلي سان گڏ، ان جي transposed ۽ وسيع تر ٿيندو آهي، پر ڊيگھ ۾ گھڻي قدر.

اسان جيئن وڌيڪ ڪو عمل ٻڌڻ گھرجي ٿينديون ضرب. جيتوڻيڪ هن چيو ته اسان کي ٻڌايو، ۽ مفيد نه آهي، پر ان کي اڃان به مفيد آهي هوشيار ٿي. ضرب ٻه قالب فقط شرط آهي ته هڪ ٽيبل ۾ شاخن جي تعداد ۾ ٻين صفون جي تعداد جي برابر آهي هيٺ ٿي سگهي ٿو. هاڻي هڪ ٿينديون ليڪ عنصرن ۽ لاڳاپيل ڪالمن جي ٻين عنصرن وٺي. ھڪ ٻئي لاء کين ضرب ۽ پوء پڄاڻي (: هڪ * ب _{11 12} + ₁₂ * ب ۽ ₂₂ i.e.، مثال طور، ₁₁ عنصرن ۽ ₁₂ ۽ ₁₂ ب ۽ ₂₂ ب تي جي پيداوار جي برابر _ٿيندو). اهڙيء طرح، ھڪ ٽيبل شيء، ۽ هڪ طريقو ان سان ملندڙ جلندڙ وڌيڪ ڀريو آهي.

هاڻي اسان کي سڌر equations جي نظام کي حل ڪرڻ لاء ڪيئن غور ڪرڻ شروع ڪري سگهو ٿا.

Gauss

هن موضوع اسڪول ۾ جاء وٺڻ شروع ڪيو. اسان کي تمام چڱي طرح "ٻه سڌر equations جي نظام" جي تصور کي خبر آهي ۽ ڪيئن انهن کي حل ڪرڻ کي خبر آهي. پر ڇا ته جيڪڏھن equations جي تعداد ۾ ٻن کان وڏو آهي؟ هيء اسان جي مدد ڪندو Gauss جو طريقو.

جي حقيقت، هن جو طريقو استعمال ڪرڻ آسان آهي، جيڪڏهن توهان جي سسٽم جي قائم ٿينديون ڪر. پر تون ان کي بدلائڻ ۽ پنهنجي تي فيصلو نه ڪري سگهي.

پوء ڪيئن سڌر equations Gauss جي نظام جي ان کي حل ڪرڻ جي؟ واٽ جو قسم آھي، جيتوڻيڪ هن جو طريقو رسمون ۽ کانئس پوء رکيو ويو، پر قديم زماني ۾ ان کي دريافت ڪيو. Gauss هڪ آپريشن جي equations سان ٻاهر ايندا، گلزار جي بحيثيت فارم echelon ڪرڻ جي نتيجي ۾ ڪيو. ته، توهان امروٽي-نازل ڪرڻ جي ضرورت جي آخري لاڳاپا وڌائڻ لاء پهرين کان (ڄڻ ته صحيح رکي) آهي هڪ نامعلوم waned. - ٽي unknowns، ته ٻئي ۾ - ٽين ۾ ٻه - هڪ پهريون: ٻين لفظن ۾، اسان کي پڪ آهي ته اسان کي ملي وئي، چؤ ته ٽي equations ڪرڻ جي ضرورت آهي. ان کان پوء، سنڌ جي آخري لاڳاپا وڌائڻ کان، اسان جي پهرين نامعلوم ڏسي، ٻيو يا پهرين لاڳاپا وڌائڻ ۾ ان جي اهميت تبديلي ڪئي ويندي، ۽ وڌيڪ ته باقي ٻن variables لھندين.

Cramer جي حڪمراني

هن ٽيڪنڪ جي ترقي لاء ان کان سواء جي صلاحيتن، قالب جي subtraction، گڏو گڏ ان جي ضرورت determinants سٽ ڪرڻ جي قابل ٿي رکن ٿا اتساهه آهي. تنهن ڪري، هي سڀ يا نه ڄاڻندا آھن ڪيئن، ان کي سکڻ ۽ تربيت ٿي ضروري آهي. ڪندا ته جيڪڏھن اوھين مضطرب آهن

هن جو طريقو جي ذات، ۽ ڪيئن ائين ڪرڻ، سڌر equations Cramer جي نظام کي حاصل ڪرڻ لاء ڇا آهي؟ اهو تمام سادو آهي. اسين (لڳ ڀڳ هميشه) سڌر algebraic equations جي نظام جي coefficients نمبر جو هڪ ٿينديون تعمير ڪرڻ جي ضرورت آهي. هن ڪندا، چئجي ته نامعلوم جي تعداد ۾ وٺي، ۽ اسان کي حڪم آهي ته انهن کي نظام ۾ درج ڪيا ويا آهن ۾ هڪ ميز بندوبست. "-" سنڌ جي تعداد ۾ نشاني آھي کان اڳ، ته پوء اسان کي منفي coefficient لکڻ. پوء، اسين (- coefficients سان سڀني جي unknowns يقينا، جي لاڳاپا وڌائڻ جي canonical فارم گهٽجي وڃي ٿو جڏهن ته حق صرف هڪ انگ، ۽ کاٻي آهي ته) جي برابر سائين کان پوء unknowns جي coefficients جي پهرين قائم ٿينديون، جو انگ به شامل نه ڪيو. هر variable لاء هڪ - ان کان پوء اوھان کي چند قالب ڪرڻ جي ضرورت آهي. هن مقصد لاء، پهرين ٿينديون ۾ هڪ ڪالمن جي جي برابر سائين کان پوء coefficients سان هر ڪالمن جو انگ جي جاء تي آهي. اهڙيء ريت اسان کي ڪجھه قالب حاصل ڪري ۽ پوء سندن determinants لھندين.

پوء اسان جي qualifiers مليو، ان کي ننڍي آهي. اسان هڪ ابتدائي ٿينديون آهن، ۽ اتي ڪيترن ئي نڪتل قالب، جنهن ۾ مختلف variables لاء چونڊجندڙ آهن. هڪ نظام کي حل حاصل ڪرڻ لاء، اسان جي ميز جي بنيادي determinant تي جي نتيجي ۾ ميز جي determinant ورهائي. سنڌ جي نتيجي ۾ نمبر هڪ variable جو قدر آهي. اهڙي طرح اسان سڀني کي unknowns لھندين.

ٻيا طريقا

نه امان سڌر equations جي نظام جي حل وٺندي ۾ ڪيترن ئي طريقن آهن. مثال طور، هڪ سو-سڏيو Gauss-اردن جو طريقو، جنهن quadratic equations جي نظام جي حل پئجي ويو، ۽ پڻ قالب جي استعمال بابت لاء استعمال ڪيو ويندو آهي. نه به سڌر algebraic equations جو هڪ نظام قضاوت لاء هڪ Jacobi جو طريقو آهي. هن چيو ته آساني سان سڀ ڪمپيوٽرن کي adapts ۽ ڪمپيوٽنگ ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي.

پيچيدو ڪيس

جيڪڏهن equations جو تعداد variables جي تعداد جي ڀيٽ ۾ گهٽ آهي پيچيدگي اڪثر ڪري وٺندي آهي. ان کان پوء اسان کي ضرور چون ٿا ڪري سگهو ٿا ته، يا ته نظام متضاد آھي (يعني ڪو واريون ڪئي آهي)، يا ان جي فيصلن جو تعداد infinity کي tends. اسان جو ٻيو ڪيس آهي ته - ان سڌر equations جي نظام جي عام حل لکڻ ضروري آهي. اهو گهٽ ۾ گهٽ هڪ variable شامل ٿيندو.

ٿڪل

هتي اسان کي ختم ڪرڻ لاء آيو. summarize ڪرڻ: اسان کي سمجهڻ جي ڪهڙي نظام قائم ٿينديون آهن، سڌر equations جي هڪ نظام جو عام حل ڳولڻ لاء سکيو. ان کان سواء اسان کي ٻين تجويزن تي غور ڪري. اسان ٻاهر figured سڌر equations جي نظام کي حل ڪرڻ لاء ڪيئن: Gaussian خاتمي ۽ Cramer جي حڪمراني. اسان ڏکيو ڪيس ۽ حل پئجي جي ٻين طريقن جي باري ۾ ڳالهائيندو هو.

حقيقت ۾، هن مسئلي کي گهڻو وڌيڪ وسيع آهي، ۽ جيڪڏھن اوھان کي ڀلي ان کي سمجهڻ لاء چاهيون ٿا، اسان توهان کي صلاح ته specialized ادب جي وڌيڪ پڙهڻ لاء.