Differentials - هي ڇا آهي؟ ڪيئن ته فعل جي differential سٽ؟

derivatives سان گڏ سندن ڪم differentials - ان جي بنيادي تصورات جي ڪجهه ئي differential calculus جي، جي مکيه حصي رياضياتي ڇنڊڇاڻ جي. جيئن چولي دامن سان جڙيل، انهن مان ٻئي ڪيترن ئي صدين کان وڏي پيماني تي لڳ ڀڳ سڀ مسئلا ته سائنسي ۽ فني سرگرمين جو رخ ۾ اختلاف قضاوت ۾ استعمال ڪيو.

differential جي تصور جي شروعات

پهريون دفعو ان کي پڌرو اهڙي differential، جي قائم مان هڪ (Isaakom Nyutonom سان گڏ) differential calculus مشھور جرمن رياضي دان Gotfrid Vilgelm Leybnits ته ڪيو. اڳ ۾ ته 17th صدي mathematicians. ڪجهه infinitesimal ڪنهن به سڃاتو وڃي فعل جي "شده" جي تمام غير واضح ۽ منجھيل خيال استعمال ڪري، هڪ تمام ننڍڙو مسلسل قدر نمائندگي پر ٻڙي جي برابر نه آهي، جنهن هيٺ انهيء جي فعل چئجي نه ٿو ٿي سگهي. انهيء ڪري ان کي فعل دليلن ۽ ڪم ته جنهنڪري جي derivatives جي اصطلاحن ۾ اظهار ڪري سگهجي ٿو جو انهن جي متعلق increments جي infinitesimal increments جي فڪري جي پيچيدگين کي صرف هڪ قدم هو. ۽ هن قدم ٻن وڏن مفڪرن مٿي جي لڳ ڀڳ جهازن ورتو ويو.

تڪڙي عملي mechanics مسئلا ته منهن سائنس وهن ترقي صنعت ۽ ٽيڪنالاجي کي خطاب ڪرڻ جي ضرورت تي ٻڌل آهي، Newton ۽ Leibniz تبديلي جي شرح (خاص طور تي سنڌ جي مشهور trajectory جي جسم جي مشيني رفتار جي حوالي سان) آهي، جنهن جي اهڙي نظريا جي تعارف لاء روانا جو ڪم پئجي جي عام طريقن سان پيدا ڪيو، جي أخذ فعل ۽ differential طور، ۽ پڻ طور سڃاتو في ڏکڻ اوڀر (variable) لاء ھلائيندو آھي ته واٽ ته integral جي تصور کي ڪيو سٽ ڪيو ته الخوارزمي inverse مسئلو حل نه ملي الا.

Leibniz ۽ Newton جي خيال جي ڪمائي پهرين ته اهو بيٺو ته differentials ۾ - جي بنيادي دلائل Δh Δu ڪم آهي ته ڪاميابي جنهنڪري جي قيمت جو حساب ڏيڻو لاڳو ڪري سگهجي ٿو increments جي increment کي متناسب آهي. ٻين لفظن ۾، اهي دريافت ڪيو آهي هڪ increment فعل (سمجھاڻي جي ان ڊومين ۾) ڪنهن به نقطي تي ٿي سگهي ٿو ته ان جي أخذ ٻنهي Δu = وائي 'جي ذريعي اظهار ڪيو آهي (x) Δh + αΔh جتي α Δh - remainder، Δh → طور تي ٻڙي کي ھوندي 0، سنڌ جي حقيقي Δh جي ڀيٽ ۾ تمام گھڻو تيزي سان.

رياضياتي تجزيي جي قائم موجب، سنڌ جي differentials - هن انهيء کان ڪنهن به ڪم جي increments ۾ پهريون اصطلاح آهي. جيتوڻيڪ هڪ چٽيء طرح بيان ڪيو ويو آهي حد تصور پوڻ کان سواء انداز intuitively سمجھي رهيا آهن ته أخذ جي differential قدر ڪميٽيء کي جڏهن Δh → 0 tends - Δu / Δh → وائي '(x).

Newton، جن جو بنيادي هڪ physicist ۽ رياضياتي مشڪن کي جسماني پريشاني جي اڀياس لاء هڪ معاون اوزار طور سمجهيو ويندو هو وسنديون، Leibniz هن toolkit تي وڌيڪ ڌيان ڏيڻ ڏنا، بصري ۽ comprehensible نشان رياضياتي انهيء جو هڪ نظام به شامل آهي. اهو هو جو 'انهن جو تعلق وائي جيئن (x) dx، dx، ۽ دليل فعل جي أخذ' جي differentials فعل dy = وائي جي معياري notation تجويز (x) = dy / dx.

سنڌ جي جديد وصف

جديد چيڪلو جي اصطلاحن ۾ differential ڇا آهي؟ اهو ويجهي هڪ variable increment جو تصور ڪرڻ سان لاڳاپيل آهي. جي variable وائي وائي جي پهرين قدر لڳن ٿا ته وائي = _1، پوء وائي وائي _{2 =،} فرق وائي ₂ ─ وائي ₁ جي increment قدر وائي سڏيو ويندو آهي. هن increment مثبت ٿي سگهي ٿو. منفي ۽ ٻڙي. لفظ "increment" Δ، Δu لکندا نامزد آھي (جو مطالعو 'وارو علائقو وائي') جي increment وائي جو قدر denotes. پوء Δu وائي ₂ ─ وائي _{1 =.}

جڏهن Δh → 0 کي tends قدر Δu ماني فعل وائي = ف (x) Δu = هڪ Δh + α، جتي هڪ Δh، دبي. ابڙو هڪ = لاء ڏنو x const، ۽ اصطلاح α تي في الحال انحصار آهي ته جيئن ظاھر ٿي سگهي ٿو ته ان کان به وڌيڪ تيزي سان سنڌ جي حقيقي Δh، پوء پهريون ( "مولا") جي ڀيٽ ۾ هڪ مدت متناسب Δh آهي، ۽ وائي = ف (x) differential لاء آهي، denoted dy يا دف (x) (پڙهي "وائي من"، "من eff ايڪس کان"). تنهن ڪري differentials - هڪ "مين" increments Δh ڪم جي جزا کي عزت ۽ احترام سان سڌر.

مشيني وضاحت

هڪ سڌي ليڪ هوا ۾ فاصلو - ص = م (ت) جڳائي مادي نقطي جي ابتدائي جاگرافيائي بيهڪ (- سفر وقت دبي) کان. Increment Δs - هڪ دفعي interval Δt دوران رستو نڪتو آهي، ۽ differential ds = ف '(ت) Δt - هن واٽ، جنهن نقطي جو هڪ ئي وقت Δt لاء منعقد ڪيو وڃي ها، ته ان جي رفتار ف برقرار رکي' (دبي)، وقت دبي تي پهتو . جڏهن هڪ infinitesimal Δt ds ريزه واٽ جي حقيقي Δs infinitesimally Δt کي عزت ۽ احترام سان هڪ اعلي امان جي قاعدن کان نرالو آهي. هن وقت دبي ۾ رفتار ٻڙي جي برابر نه آهي ته، سنڌ جي ذري گهٽ اهميت ds ننڍي بياس نڪتو ڏئي ٿو.

جاميٽري جي تعبير

جڳائي جي لڪير آيل وائي = ف (x) جي گراف آهي. ان کان پوء Δ x = مجيبالرحمان، Δu = QM '(ڏسو. هيٺ شخصيت). Tangent نفيسا Δu ٻن حصن، QN ۽ NM '۾ پٽي ڦيرائيندو آھي. پهريون ۽ Δh متناسب QN = مجيبالرحمان ∙ tg (موڙ QMN) = Δh ف '(x)، دبي. أي QN dy differential آهي.

فرق Δu NM'daet جو ٻيو حصو ─ dy، جڏهن Δh → 0 NM ڊيگهه 'به تيزي سان سنڌ جي دليل جي increment جي ڀيٽ ۾ گھڻي قدر، يعني ان کي موڪليائين Δh کان اعلي جو حڪم ڪيو آهي. هن حالت ۾، جيڪڏھن ف '(x) ≠ 0 (غير ٻي جاء tangent OX) حصن QM'i QN جي برابر آهي. ٻين لفظن NM 'گھڻي قدر وهن (ان جي اعلي جي موڪليائين جن جي حڪم) کي ڪل increment Δu = QM جي ڀيٽ ۾' ۾. هن شڪل (اچڻ واري ڀاڱي M'k م NM'sostavlyaet سڀ ننڍا في سيڪڙو QM 'ڀاڱي) ۾ ظاهر ٿيو آهي.

پوء، graphically ماني فعل differential جي tangent جي ordinate جي increment ڪرڻ برابر آهي.

أخذ ۽ differential

اظهار increment فعل جي پهرين مدت ۾ هڪ عنصر ان جي أخذ ف '(x) جي قيمت جي برابر آهي. اهڙيء طرح، هيٺين سلسلي - dy = ف '(x) Δh يا دف (x) = ف' (x) Δh.

اهو معلوم ٿئي ٿو ته آزاد دليل جي increment ان differential Δh = dx ڪرڻ برابر آهي. مطابق، اسان کي لکڻ ڪري سگهو ٿا: ف '(x) dx = dy.

پئجي (ڪڏهن ڪڏهن ته "فيصلو" چيو وڃي ٿو) differentials جي derivatives لاء ته جيئن اهو ساڳيو اصول جي پرفارم ڪيو آهي. انھن جي هڪ فهرست هيٺ ڏنو ويو آهي.

ڇا وڌيڪ آفاقي آهي: جي دليل جي increment يا ان جي differential

هتي ان جي ڪجهه clarifications ڪرڻ ضروري آهي. نمائندگي قدر ف '(x) جي لحاظ کان Δh differential جڏهن هڪ دليل جي طور تي x جي سٺن. پر فنڪشن جو هڪ پيچيده، جنهن ۾ x جي دليل دبي جي هڪ فنڪشن ٿي سگهي ٿو ڪري سگهجي ٿو. ان کان پوء ف جي differential اظهار 'جي نمائندگي (x) Δh، هڪ راڄ جي طور تي، اهو ممڪن نه آهي؛ سڌر انحصار x = + ب تي جي صورت ۾ کانسواء.

فارمولا ف '(x) dx = dy ڪري، پوء x دبي جي parametric انحصار جي صورت ۾ مان آزاد دليل x (وري dx = Δh) جي صورت ۾، ان differential آهي.

مثال طور، سنڌ جي اظهار 2 x Δh جڏهن x جي هڪ دليل آهي وائي = x ² ان differential لاء آهي. اسان کي هاڻي x = دبي ² ۽ دبي دليل فرض. ان کان پوء وائي = x ² = دبي ^4.

هن (ت + Δt) ² = دبي ² + 2tΔt + Δt ² جي پٺيان ^آهي. انهيء Δh = 2tΔt + Δt ^2. انهيء: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

هن اظهار Δt کي متناسب نه آهي، ۽ تنهن ڪري 2xΔh differential نه آهي هاڻي آهي. اهو لاڳاپا وڌائڻ وائي = x ² = دبي ⁴ کان ملي ڪري سگهجي ^ٿو. اهو برابر dy = 4t ³ Δt آهي.

اسان جي اظهار 2xdx وٺي ته، ان جي differential وائي = x ² ڪنهن به دليل دبي لاء آهي. بيشڪ، جڏهن x = دبي ² وٺندي dx = 2tΔt.

پوء 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t، دبي. ابڙو سنڌ جو اظهار ٻن مختلف variables جي رڪارڊ differentials ٺهڪي.

increments differentials کي هٽائي

جيڪڏهن ف '(x) ≠ 0، پوء Δu ۽ dy جي برابر آهي (جڏهن Δh → 0)؛ جيڪڏھن ف '(x) = 0 (معني ۽ dy = 0)، اھي نه جي برابر آهي.

مثال طور، جيڪڏهن وائي = x ^2، پوء Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ۽ dy = 2xΔh. x = 3، ته پوء اسان کي Δu = 6Δh + Δh ² ۽ dy = 6Δh آهي ته برابر سبب Δh ² → 0 آهن، جڏهن x = 0 قدر Δu = Δh ² ۽ 0 dy = برابر نه آھن.

هيء حقيقت آهي، ته differential (ن Δh کي عزت ۽ احترام سان. ئ Linearity) جي سادي اڏاوت سان گڏجي، اڪثر ذري گهٽ حساب ۾، استعمال ڪيو ويندو آهي ته ننڍي Δh لاء Δu ≈ dy جو گمان تي. مان ڳولا ڪريو جي differential فعل اڪثر پهچ جي increment جي ٺيڪ ٺاڪ قدر حساب ڪرڻ کان آهي.

مثال طور، اسان کي برتري x = 10،00 وڏي وزير سان metallic پيدا ٿيندڙ آهي. جي برتري Δh = 0،001 سي تي lengthened جي گرمائش تي. ڪيئن اڳتي وڌائي مقدار ۾ پيدا ٿيندڙ هلي؟ پوء ته dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (سي ³⁾ اسان ^کي، هلي = x ^{2 آهن.} وڌي ΔV برابر differential dV، ته ΔV = 3 سي ^3. سڄو حساب ³ ΔV = 10،01 ─ ¹⁰ مارچ = 3.003001 ڏئي ها. پر پهرين جون حديثون لکڻ کانسواء سڀني ندس جي نتيجي ۾؛ تنهن ڪري، ان کي اڃا تائين 3 سي ³ لاء آس پاس ڪرڻ ضروري ^آهي.

ڏٺل، هن اچڻ رڳو جيڪڏھن ان کي غلطي سان سڌوسنئون جي اهميت جو اندازو ڪرڻ ممڪن آهي مفيد آهي.

Differential فعل: مثال

سنڌ جي ڪارڪردگيء جي وائي = x ³ جي differential سٽ ^کي، جي أخذ پئجي جي ڪوشش ٿا ڪريون. اسان جو دليل increment Δu ڏي ۽ وصف جڳائي.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

هتي، هن coefficient هڪ = 3x ² Δh تي ڀاڙي نه ڪندو، ته پهرين مدت متناسب Δh، ٻئي ميمبر 3xΔh Δh ² + ³ آهي جڏهن Δh → 0 کي دليل جي increment کان تيز لاء گھڻي قدر. انڪري، 3x ² Δh جي هڪ ميمبر وائي = x ³ جي differential ^آهي:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx يا د (x ³⁾ = 3x ² dx.

جنھن د (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy اسان هاڻي أخذ جي ڪارڪردگيء وائي = 1 / x لھندين. ان کان پوء د (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. تنهن ڪري dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials بنيادي algebraic ڪم هيٺ ڏنو ويو آهي.

differential استعمال ڪري ذري گهٽ حساب

هن فنڪشن ف (x)، ۽ ان جي أخذ ف 'ويجهڙائيء (x) تي = هڪ اڪثر ڏکيو آهي، پر جي x = هڪ جي بازارن ۾ به ساڳيو ڪم ڪرڻ آسان نه آهي. ان کان پوء سنڌ جي ذري گهٽ اظهار جي امداد لاء ايندا

ف (هڪ + Δh) ≈ ف '(هڪ) Δh + ف (ھڪ).

هن پنهنجي differential Δh ف '(هڪ) Δh ذريعي ننڍي increments تي ئي فعل جي هڪ ذري گهٽ اهميت ڏئي ٿو.

تنهن ڪري، هن فارمولا جو حصو (x = هڪ) جي ٿيندڙ نقطي تي ان جي اهميت جي پڄاڻي ۽ ساڳئي ٿيندڙ نڪتو ۾ differential طور هڪ ڊيگهه Δh جو هڪ حصو جي پڇاڙي نقطي تي هن فنڪشن لاء هڪ ذري گهٽ اظهار ڏئي ٿو. هيٺ ڏنل فعل جي انهيء determining لاء طريقو جي درستگي جي ڊرائنگ جي علامت آهي.

تنهن هوندي به ڄاڻي ۽ جي فنڪشن x = هڪ + Δh قدر فارمولا مائرن increments (يا، ٻيو، Lagrange جي فارمولا) پاران ڏني لاء ٺيڪ ٺاڪ اظهار

ف (هڪ + Δh) ≈ ف '(ξ) Δh + ف (ھڪ)،

جتي نڪتو x = هڪ + ξ، x کان interval ۾ آهي = هڪ x = هڪ + Δh کي جيتوڻيڪ ان جي ٺيڪ ٺاڪ حيثيت نامعلوم آهي. جڏهن ته ساڳئي فارمولي جي ذري گهٽ فارمولا جي غلطي جي ويجهڙائيء ۾ ڪرڻ جي اجازت ڏئي. جيڪڏهن اسان جي Lagrange فارمولا ξ = Δh / 2 ۾ وجهي، باقي ان کي صحيح ٿي پليندو، پر هڪ راڄ جي طور تي، ڏئي ٿو، ته differential جي سلسلي ۾ اصل اظهار جي ڀيٽ ۾ هڪ گهڻو بهتر اچڻ.

differential جهڙي جي اوسر ۽ فارمولن غلطي

جريب آلات ، اصول ۾، غلط، ۽ ماپ ۾ ڊيٽا جي غلطي کي موڙن کي آڻ. اھي حد بندي ڪندي characterized آهن جي مطلق غلطي، يا، مختصر ۾، سنڌ جي حد غلطي - مثبت، چٽيء طرح مطلق قدر (يا گهٽ ۾ سڀ کان ان جي برابر) ۾ غلطي کان وڌيڪ. حد بندي جي مائٽ غلطي جي انس جي ماپي کي قدر جي مطلق جو قدر ڪندي ان کي ورهائي طرفان مليل سڏيو ويندو آهي.

ٺيڪ ٺاڪ فارمولا وائي = ف (x) واي vychislyaeniya لاء استعمال فعل جڳائي، پر x جي اهميت جي ماپ جو نتيجو آهي، ۽ ان ڪري ئي وائي غلطي ڪڍندو. ان کان پوء، ان جي حد بندي ڪئي مطلق غلطي │Δu│funktsii وائي سٽ کي، جي فارمولا کي استعمال ڪندي

│Δu│≈│dy│ = │ ف '(x) ││Δh│،

جتي │Δh│yavlyaetsya ٽنن غلطي دليل. │Δu│ مقدار، کن rounded ٿي هجڻ ضروري آهي ته جيئن غلط حساب پاڻ ئي differential حساب تي increment جو متبادل آهي.